2019 Gauss Contest Grade 7 Last Question

滑铁卢大学每年春季都举办孩子的数学竞赛。我在辅导孩子准备2021五月的比赛时，发现最后的几道难题，有很多都用到了编程思想，比如2019 Gauss Contest Grade 7 Last Question，是典型的循环找边界的问题。

25. An 8 × 8 × n rectangular prism is made up from 1 × 1 × 1 cubes. Suppose that A is the surface area of the prism and B is the combined surface area of the 1×1×1 cubes that make up the prism. What is the sum of the values of n for which B/A is an integer?
    (A) 86 (B) 90 (C) 70 (D) 78 (E) 96 正确答案是(B) 90

孩子们应该没有问题写出A/B的表达式。A = 8×8×2 + 8×n×4; B = 8×8×n×6；
所以：A/B = 12n/(4+n) , 问题是n是什么正整数，A/B可以是整数？我们可以将A/B写作整数m, 于是等式可写做：m = 12n/(4+n)。 n是正整数，经分析，m也应是正整数。

初步的想法是：n可以从2到94的偶数进行循环。上界94是据答案（E)，偶数是分析所得。用Python写一个三行的小程序非常容易：

for n in range(2,95,2):
    if (12*n/(4+n)).is_integer():
        print(n)

在屏幕上得到了n的答案是：2， 4，8，12，20，44

但是上面的循环对参加竞赛的学生是要用纸笔及计算器进行的。要做循环22次才能找出n=44，据可选择的答案，在n=44后不用再继续循环了。

纸笔进行循环22次够累孩子的了，还能不能循环次数更少一些呢？我们可以将等式m = 12n/(4+n)进行变形, 得到：n = 4m/(12-m), 其中m，n均是正整数。

经分析，因n是正整数，m只可以是1至11的整数，用Python写一个三行的小程序也非常容易：

for m in range(1,12):
    if (4*m/(12-m)).is_integer():
        print(m)

于是得到A/B或是说m只可以是： 4，6，8，9，10，11
将m是4，6，8，9，10，11带入等式n = 4m/(12-m)， 同样可得到n的值是：2， 4，8，12，20，44

第二种的循环只循环11次，学生用纸笔循环也可以做了。滑铁卢大学给出的答案正是这样：

所以我们看到，如果曾学过简单的Python编程，可以写小程序很快解出答案。即使是竞赛，必须用纸笔及计算器做，如果具有编程的循环找边界的思想，也是能够解答这最后一道难题的。

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2019 Gauss Contest Grade 7 Questions

2019 Gauss Contests (Grades 7 and 8) Solution